Método del punto fijo

El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma $f(x)$, siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación $f(x) = 0$ en la forma $x = g(x)$.

Algoritmo

El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la derivada $(\frac{dg}{dx})$ debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad €.

• Se ubica la raíz de $f(x)$ analizando la gráfica.
• Se obtiene un despeje $x = g(x)$ de la función.
• Obtenemos de $x = g(x)$ su derivada $g'(x)$.
• Resolviendo la desigualdad $-1 \leq g'(x) \leq 1$ obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.
• Con R buscamos la raíz en $g(x)$, es decir $g(R) = R$ haciendo iteración de las operaciones.

Relevancia

Los resultados de punto fijo ocurren en muchas áreas de las matemáticas y son una herramienta principal de los economistas para proporcionar resultados concernientes a los equilibrios. Aunque la idea detrás de la técnica es antigua, la terminología fue usada primero por el matemático holandés L. E. J. Brouwer (1882-1962) a principios de 1900.