El método de la secante

El método de Newton es una técnica en extremo poderosa, pero tiene una debilidad importante: la necesidad de conocer el valor de la derivada de ff en cada aproximación. Con frecuencia, f(x)f(x) es mucho más difícil y necesita más operaciones aritméticas para calcular f(x)f(x)

Para evitar el problema de la evaluación de la derivada en el método de Newton, presentamos una ligera variación. Por definición,

f′(pn−1)=lim⁡x→pn−1f(x)−f(pn−1)x−pn−1f'(p_{n} - 1) = \lim_{x \to p_{n-1}} \frac{f(x) -f(p_{n-1})}{x - p_{n-1}}

Si pn−2p_{n-2} está cerca de pn−1p_{n-1}

f′(pn−1)≈f(pn−2)−f(pn−1)pn−2−pn−1=f(pn−1)f(pn−2)pn−1−pn−2f'(p_{n-1}) \approx \frac{f(p_{n-2}) - f(p_{n-1})}{p_{n-2} - p_{n-1}} = \frac{f(p_{n-1}) f(p_{n-2})}{p_{n-1} - p_{n-2}}

Usando esta aproximación para f′(p_n−1)f'(p\_{n-1}) en la fórmula de Newton obtenemos

pn=pn−1−f(pn−1−)(pn−1−pn−2)f(pn−1)−f(pn−2)p_{n} = p_{n-1} - \frac{f(p_{n-1-}) (p_{n-1} - p_{n-2})}{f(p_{n-1}) - f(p_{n-2})}

Algoritmo

Empezando con dos aproximaciones inicianes p0p_{0} y p1p_{1}, la aproximación p2p_{2} es la intersección en xx de la recta que une los puntos (p0,f(p0))(p_{0}, f(p_{0})) y (p1,f(p1))(p_{1}, f(p_{1})) y asi sucesivamente. Observe que sólo se necesita una evaluación de la función por cada paso para el método de la secamente después de haber determinado p2p_{2}. En constraste, cada paso del método de Newton requiere una evaluación tanto de la función como de su derivada.

Ejemplo grafico

Conclusión

El método de Newton o el método de la secante con frecuencia se usan para refinar una respuesta obtenida con otra técnica, como el método de la bisección, ya que estos métodos requieren una primera aproximación adecuada pero, en general, proveen convergencia rápida.